哈工大近世代数期末复习 哈工大近世代数

近世代数是抽象代数的一个分支,是计算机科学和人工智能大数据的基础. 

本文内容有点长,大家可以通过index来跳转到想要看的章节,第十章的总结在我的主页里下载

1.代数系 

半群:满足结合律的代数系

交换半群:满足交换律的半群

群:判定方法有两种

method1

  1. 有单位元
  2. 有逆元
  3. 运算满足结合律

method2:

  1. 运算满足结合律
  2. 运算满足左右消去律

交换群(Abel群):

定义:满足交换律的群

应用:    后面讲环的时候会用到Abel群,判定一个代数系(R,+,)是环:

  1. ( R, +)为一个 Abel群:
  2. ( R, )为一个半群; a, b, c R( a b) c = a ( b c)
  3. 乘法对加法满足左、右分配律: a, b, c R
           a ( b + c) = ( a b) + ( a c)
           ( b + c) a = ( b a) + ( c a)
    交换群可以衍生出很多好的性质

2.群的简单性质

群满足消去律

练习1答案方法的解释

 有限群的每个元素的阶不超过该有限群的阶。

 根据群的阶判断元素的阶

练习6注释:根据练习4 5得到:阶大于2的元素成对出现则 |G| = 2n= 2k+l+1得到l是奇数 、

练习六也就是说偶数阶群2n一定存在一个阶为2的元素,也就是说一定存在n阶商群(后面会提到)

证明:一/二/三/四/五阶群是交换群

如何证明 五阶一下的群都是交换群 (利用后面的拉格朗日的定理 干掉前四个)

 如何证明六阶群中 肯定存在一个三阶子群

 3.子群 生成子群

子群

H是G的子群要满足三个条件

  1. H元素非空
  2. H中对于G中的运算封闭
  3. H是G的子集

eg:找出3次对称群的所有子群。

. (1), {(1) ,(1 , 2) }{(1) ,(1 , 3) }{(1) ,(2 , 3) }{(1) ,(123) ,(132) }S3。

判断子群的充要条件

同理在子环和子域中也有类似的证明

定理 :    设( G1 , )和( G2 , )都是群, ϕ : G1 G2, a, b G1, ϕ( a b) = ϕ( a) ∗ ϕ( b),证明:       ϕ 1 ( e2)为 G1的子群,其中 e2为 G2的单位元素。

G的任意多个子群的交还是G的子群

任一群不能是其两个真子群的并

 1. 举例说明两个子群的并可以不是子群。

. S6 = {[0] , [1] , [2] , [3] , [4] , [5] }{[0] , [2] , [4] }{[0] , [3] }S6的两个子群,但 {[0] , [2] , [4] }∪{[0] , [3] } = {[0] , [2] , [3] , [4] }不是 S6的子群,因为[2] + [3] = [5] ∉ {[0] , [2] , [3] , [4] }
2.设G1和G2为群G的两个真子群,证明:G1 G2为G的子群的充分必要条件是G1 G2或者G2 G1。
       如果 G1 G2或者 G2 G1,则 G1 G2 = G2或 G1,此时显然 G1 G2为 G的子群。 如果 G1 G2为 G的子群,以下用反证法证明 G1 G2或者 G2 G1。
        假设 G1 ⊈ G2并且 G2 ⊈ G1,则存在 g2 G2,但是 g2∉ G1,同时存在 g1 G1,但是 g1
G2。于是 G1为 G1 G2的真子集, G2为 G1 G2的真子集,易得 G1和 G2为 G1 G2的真子群,由于任一群不能是两个真子群的并,矛盾。

 群G的中心CG的可交换子群。

中心:  群G的元素a称为G的中心元素,如果aG的每个元素可交换,即x G, ax = xaG的所有中心元素构成的集合C称为G的中心。

不要忘记先证明他是一个群     形式有点像正规子群

 生成子群

MG的一个非空子集, G的包含 M的所有子群的交称为由 M生成的子群,记为( M)。
有一点像细胞分裂

 推论:有限生成子群仍然是循环群

证明(Q, )的每个有限生成子群都是循环群? - 知乎 (zhihu.com)

4.变换群 同构

同构:

      设(G1, ),(G2, )为两个群。如果存在一个双射ϕ : G1 G2,使得a, b Gϕ(a b) = ϕ(a) ϕ(b), 则称群G1与G2同构,记为G1  ≅ G2。ϕ称为从G1到G2的一个同构。

同构和同态区别和联系:

  1. 都满足那个等式
  2. 不同:同态不一定要求是双射

变换群

对称群:S为一个非空集合,从 SS的所有双射构成的集合对映射的合成构成一个群,称为 S上的对称群,记为 Sym( S)。当 S = {1 , 2 , · · · , n}时, Sym( S) = Sn
变换群:Sym( S)的任意一个子群称为 S上的一个变换群。 Sn的任意一个子群称
为一个置换群。

定理:任何一个群都同构于某个变换群。(Caley定理)

推论:任意一个 n阶有限群同构于 n次对称群 Sn的一个 n阶子群,亦即任意一个
有限群同构于某个置换群。

练习:

  1. 证明一个群是一个变换群
  2. 证明是同构,关键是找到一个映射,先证明是一个映射,再证明是一个满射,再证明符合同构的等式。

 5.循环群

循环群的定义:

如果G是由其中的某个元素a生成的,即G = (a) = {· · · , a2 , a1 , e, a, a2 , · · · }

  • 整数加法群(Z,+)为循环群,其生成元为1。
  • n同余类加群Zn = {[0], [1], · · · , [n 1]}为一个阶为n的有限循环群,其生成元为[1]。

循环群的阶:

 循环群的同构:

  1. 无穷循环群同构于整数加群(Z, +),即如果不计同构,无穷循环群只有一个,就是整数加群;
  2. 阶为n的有限循环群同构于模n同余类加群(Zn, +),即如果不计同构,n阶循环群只有一个,就是模n同余类加群。

 这个定理告诉我们可以以整数加群和模n同余的整数加群为为媒介,证明两个子群同构

example

循环群子群的阶:

循环群的性质

  1. 循环群仍然是交换群 原因 循环群中的每一个元素都可以表示成a的多少次方,那么a^(i+j) = a^(j+i)显然是一个交换群
  2. 循环群的子群仍然是循环群
  3. 循环群的子群仍然是该循环群的正规子群

最大公约数

dab的最大公约数表示为d=( a, b)
两个定理
  • a, b Zab不全为0,则m, n Z使得(a, b) = ma + nb
  • a, b Zb > 0, a = qb + r,0 r < b,则( a, b) = ( b, r)。
example  计算(266 , 112),并将其表示成 m · 266 + n · 112的形式

循环群的阶和最大公约数

子群的陪集 拉格朗日定理

Concept: 群子集的乘法

  • AB = {ab|a Ab B}
  • g G, A 2 G, {g}A简写为 gA,即 gA = {ga|a A}A{g}简写为 Ag
    Ag = {ag|a A}
  • G为一个群,则 A, B, C 2 G,( AB) C = A( BC)。

Concept:陪集定义和性质

定义:

H为群 G的一个子群, a G,则集合 aH称为子群 H的一个左陪集, Ha称为 H的一个右陪集。

性质:

  1. H为群G的一个子群,则a GaH = H的充分必要条件是a H
  2. H为群 G的一个子群,则 a, b GaH = bH的充分必要条件是 a ^b H
  3. 子群的不相交性:设 H为群 G的一个子群,则 a, b GaH = bH或者 aH bH = φ
  4. 等容量性:设 H为群 G的一个子群,则 a, b G|aH| = |bH|
  5. 划分性:设H为群G的一个子群,则H的所有左陪集构成的集合为G的一个划分。

证明:参见讲义 第二条证明较为麻烦↓    ↓     ↓     ↓

拉格朗日定理

指数的定义:

       设H为群G的一个子群,如果H的所有不同的左陪集的个数为有限数j则称jHG中的指数,记为j = [G : H],否则称HG中的指数为无穷大。

拉格朗日定理及推论:

G为一个有限群, HG的一个子群,则 |G| = |H| · [ G : H]。

推论*3:

  • 有限群中每个元素的阶都能整除该有限群的阶。
  • 如果群的阶是素数,则该群是一个循环群。
  • G为一个群,则 a Ga^|G| = e。

推论*2:

  • H为群 G的一个子群, SlH的所有左陪集构成的集合, SrH的所有右陪集构成的集合,则 |Sl | = |Sr|
p为素数,整数 ap互素,则 a ^ p1 1 (mod p)。

 备注:

  • 【a】p-1 = [1]是因为推论3 这个是要证明一个运算在一个群里
  • 思考是否可以用群的另外一种判断方法来证明:证明结合律和左右消去律。

正规子群 商群

有了陪集和群子集乘法的概念,我们引入正规子群和商群。

简单复习

群运算:

其中对于定理三我们比较难理解 

判断两个子群的乘积是否也是子群

 正规子群

引入:

在上一节中我们学习了子群的乘法,但和映射类似,子群的乘法不一定满足交换律,例如

正规子群定义:

H为群 G的子群,如果 a GaH =  Ha,则称 HG的正规子群。

正规子群等价命题:

 证明: 3-4相对麻烦

 商群

引入(可以不用看)

就是证明代数系统是一个群

定义和形式化举例 

      定义:群G的正规子群H的所有左陪集构成的集族,对群子集乘法构成的群称为GH的商群,记为G/H

  • 商群其实就是上面提到拉格朗日对于G的划分
  • 商群是对集族进行运算而不是集合
  • 每个商群划分的元素都是互不相交的

      形式化举例

 练习:

没啥多说的直接看吧

同态的基本定理 

引入同态是为了消弱同构的条件 同态和同构差别就在于是否一定是双射

  • 同态不一定是双射
  • 单射叫单同态,满射叫满同态注意符号怎么写

同态定义

性质

两个定理

 同态的替身和原同态关系

 证明方法见笔记 

同态的核

定义

同态像就是像集中能够被映射到的元素组成的集合。而同态核就是定义域集合中所有像为幺元的元素组成的集合。同态的核是衡量同态单射的程度。

抽象代数学习笔记(四) - 知乎 (zhihu.com)

特殊的同态核

这里需要注意的是先要验证是一个同态 因为只说了 他是一个映射 不一定满足那个同态表达式

 同态基本定理

练习 

环 体 域

有些符号打字太麻烦了 直接看我写的latex

定义

 体

交换环 /域

 子环/子域

判断子环的条件 

减法 类似于加法的逆 

子环

 子体/子域

 举例:

零因子环

零因子 

无零因子环

 判断无零因子环的充分必要条件(数理逻辑谓词证明方法)

 判断无零因子环的充分必要条件

有限环和体的关系 

练习 

做题中遇见的问题和技巧

  • 通过结合律和消去律 证明代数系是群 必须是有限群的充要条件
  • 群G的中心是G的子群
  • 偶数阶群一定至少存在一个阶为2的元素
  • 如果一个n阶有限群中有一个元素的阶等于该有限群的阶n,那么这个群是一个循环群
  • 如果两个数最大公约数是d,则存在非零整数m,n,使得,ma+nb=d
  • 同构的两个群阶数相等
  • 循环群一定是一个交换群 循环群的子群是原来群的正规子群
  • 如果一个群的阶是素数那么这个群一定是循环群(拉格朗日) 进而也是一个交换群特殊的2阶群是循环群也是交换群
  • 三阶群是交换群  四阶群也是交换群 证明往上翻
  • H为G的正规子群 ah不一定等于ha ah = ah1
  • 指数为2的子群是正规子群
  • 证明两个集合乘法仍然是原来的子群只需证明AB = BA
  • 证明G\H是商群的时候一定先说明H是正规子群
  • 商群G\H的单位元是H,所有的元素(元素是集合)要么相等要么互不相交
  • 证明同态的时候有的时候先要说明是一个映射 就是证明任意的a=b f(a)=f(b)相同的元素映射到相同的位置
  • 同态的核只是相对于满同态来说 他是用来衡量同态映射的单射程度
  • {e}是任何群的正规子群 这在同态的证明和同态核中有一部分的应用
  • 证明环是第一个是Abel群 第二个是半群 不要搞混

1.证明是商群必须证明是正规子群

q:请问不是交换群 可不可以说明他有一个n阶商群  [G:H]= n和商群的阶是n是一回事么

a:商群必须是正规子群左陪集构成的集族  所以不是一回事

2.

使用反证法

3. 利用分类讨论的思想来做题

 4.利用找特殊的方法

找出一个例子 

5.利用已知条件进行一个"构造"的方法

 

                                                 关键是在3->2的推导 

6.这个题虽然也是课后题 了解一下就好 拓展一下思路

.类比的思考 比如这个题 解答版能不能把那个定理推广到右陪集

8.拉格朗日定理的拓展

红笔的原因  因为H是是A的子集,所以H中元素与A构成的陪集就是A  详见任世军老师的网课 

9.存在性问题 

六阶群 一定存在一个三阶子群

2n阶交换群一定存在一个n阶商群

作者:旅僧原文地址:https://blog.csdn.net/qq_62260432/article/details/128831833

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